Function of one r.v.

$Y = g(X)$

  1. X 是离散，Y也是离散
  2. X是连续，Y是离散

将Y的取值一一列出，再将Y的各种取值的概率求出

  1. X是连续，Y是连续

    1. $g(x)$是严格单调函数

    反函数$g^{-1}(y) = h(y)$有连续导函数，则$Y=g(X)$的PDF为 $$ \begin{equation} p_{Y}(y) = \begin{cases} p_{X}[h(y)]|h^\prime(y)|, &a<y<b \newline 0, &\text{其他} \end{cases} \end{equation} $$ 例1: $X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$, 则当$a\neq0$时，有$Y =aX+b$, 求$Y$的PDF

    image-20230103203550015

    结论1：$X\sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ $Y = aX+b \sim \mathcal{N}(a\mu+b, a^2\sigma^2)$

    1. 否则从$F_Y(y) = P(g(X) \leq y)$先求CDF再找PDF

Function of multiple r.v.

X+Y

X, Y 独立

$p_Z(z) = \int_{-\infty}^{\infty}p_X(z-y)p_Y(y)dy=\int_{-\infty}^{\infty}p_X(x)p_Y(z-x)dx$